Lógica Difusa: Funciones de pertenencia

En Inteligencia artificial, la lógica difusa, o lógica borrosa se utiliza para la resolución de una variedad de problemas, principalmente los relacionados con control de procesos industriales complejos y sistemas de decisión en general, la resolución la compresión de datos. Los sistemas de lógica difusa están también muy extendidos en la tecnología cotidiana, por ejemplo en cámaras digitales, sistemas de aire acondicionado, lavarropas, etc. Los sistemas basados en lógica difusa imitan la forma en que toman decisiones los humanos, con la ventaja de ser mucho más rápidos. Estos sistemas son generalmente robustos y tolerantes a imprecisiones y ruidos en los datos de entrada. Algunos lenguajes de programación lógica que han incorporado la lógica difusa serían por ejemplo las diversas implementaciones de Fuzzy PROLOG o el lenguaje Fril.

Consiste en la aplicación de la lógica difusa con la intención de imitar el razonamiento humano en la programación de computadoras. Con la lógica convencional, las computadoras pueden manipular valores estrictamente duales, como verdadero/falso, sí/no o ligado/desligado. En la lógica difusa, se usan modelos matemáticos para representar nociones subjetivas, como caliente/tibio/frío, para valores concretos que puedan ser manipuladas por los ordenadores.
En este paradigma, también tiene un especial valor la variable del tiempo, ya que los sistemas de control pueden necesitar retroalimentarse en un espacio concreto de tiempo, pueden necesitarse datos anteriores para hacer una evaluación media de la situación en un período anterior...

Función de pertenencia
La función de pertenencia de un conjunto nos indica el grado en que cada elemento de un universo dado, pertenece a dicho conjunto. Es decir, la función de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X será de la forma: µA:X → [0,1], donde µA (x) = r si r es el grado en que x pertenece a A.

Si el conjunto es nítido, su función de pertenencia (función característica) tomará los valores en {0,1}, mientras que si es borroso, los tomará en el intervalo [0,1]. Si µA(x) = 0 el elemento no pertenece al conjunto, si µA(x) = 1 el elemento sí pertenece totalmente al conjunto.

Las funciones de pertenencia son una forma de representar gráficamente un conjunto borroso sobre un universo.

La función característica del conjunto de los elementos que verifican un predicado clásico está perfectamente determinada. No ocurre lo mismo cuando se intenta obtener la función de pertenencia de un conjunto formado por los elementos que verifican un predicado borroso. Dicha función dependerá del contexto (o universo) en el que se trabaje, del experto, del usuario, de la aplicación a construir, etc.

A la hora de determinar una función de pertenencia, normalmente se eligen funciones sencillas, para que los cálculos no sean complicados. En particular, en aplicaciones en distintos entornos, son muy utilizadas las triangulares y las trapezoidales:

1. Función Triangular
Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m, tal que a

2. Función Trapezoidal

Definida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte inferior b y superior c, tal que aCasos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos parámetros toman valores no finitos:

• Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞

• Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞

Además de las funciones de tipo lineal anteriormente expuestas, también se usan las siguientes:

3. Función Gamma

Definida por su límite inferior a y el valor k>0.

Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a; cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido.

Nunca toma el valor µA (x) = 1, aunque tienen una asíntota horizontal en dicho valor.

Ejemplo:
Cuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3, se obtienen las siguientes funciones:


4. Función Sigmoidal

Definida por sus límites inferior a, superior b y el valor m o punto de inflexión, tales que a

5. Función Gaussiana

Definida por su valor medio m y el parámetro k>0.
Esta función es la típica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor de k, más estrecha es dicha campana.

6. Función Pseudo-Exponencial

Definida por el valor medio m y el parámetro k>1.

Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido y la campana es más estrecha.